No último domingo (25), Lula venceu Flávio Bolsonaro no 2º turno. Ele ganhou em 13 UFs, entre elas Amazonas e Minas Gerais. Com isso, voltou a circular uma curiosidade: desde 1989, quem vence nesses dois estados vence a eleição. São 10 eleições sem nenhuma exceção.

Minas costuma ser chamada de principal estado-pêndulo do país justamente por isso. A pergunta central é: qual a chance de alguma UF ter um histórico perfeito por puro acaso?

Spoiler: é mais ou menos cara ou coroa. Com 27 UFs, a chance de existir pelo menos uma UF em que o eleito venceu nas 10 eleições, por puro acaso, é de cerca de 50%.

Notação

Antes de fazer as contas, precisamos definir algumas coisas.

  • \(N = 27\) é o número de unidades da federação (26 estados e o Distrito Federal).
  • \(T = 10\) é o número de eleições presidenciais diretas desde 1989.
  • Para cada eleição \(t = 1, \dots, T\), \(k_t\) é o número de UFs em que o candidato eleito venceu, considerando o turno que decidiu a eleição.
  • \(A_{it}\) é o evento “o candidato eleito na eleição \(t\) venceu na UF \(i\)”.
  • Uma UF é um termômetro perfeito se \(A_{it}\) ocorre para todo \(t\). O nome vem da ideia de que, como um termômetro que mede a temperatura do corpo inteiro, o resultado dessa UF “mede” o resultado do país.

O que queremos é a probabilidade de que pelo menos uma das \(N\) UFs seja um termômetro perfeito, se a sequência fosse fruto do acaso.

O modelo da moeda honesta

O primeiro impulso é pensar que, em cada eleição, o eleito vence ou não vence numa UF, como uma moeda que dá cara ou coroa. Ou seja, \(\Pr(A_{it}) = 1/2\), com eleições independentes entre si.

Nesse caso, ter o eleito vencendo numa mesma UF nas \(T = 10\) eleições é como tirar cara 10 vezes seguidas: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0{,}1\%. \] Com \(N = 27\) UFs, a chance de pelo menos uma ter histórico perfeito é de apenas 2,6%. Se isso estivesse certo, Minas e Amazonas seriam mesmo notáveis.

Mas a moeda é viciada. O eleito costuma ganhar na maioria das UFs, não em metade delas. Em 2002, por exemplo, Serra venceu o 2º turno em um único estado: Alagoas. Lula venceu nas outras 26.

Pense num meteorologista em Fortaleza no segundo semestre, que todo dia diz “hoje não chove”. Ele vai acertar quase sempre, e não porque é bom de previsão: é que quase nunca chove nessa época. Numa eleição como a de 2002, acontece o mesmo: como o eleito venceu em 26 das 27 UFs, quase todas continuaram com o histórico perfeito, sem nenhum mérito especial.

Ou seja: \(\Pr(A_{it}) \neq 1/2\). Ela depende de quantas UFs o eleito levou naquele ano.

Um modelo melhor

Por que um modelo melhor? Porque ele usa uma informação que a moeda joga fora: em quantas UFs o eleito venceu em cada eleição.

Com uma moeda por UF, o eleito venceria, em média, em 13,5 das 27 UFs, todo ano. A média observada foi de 19,2. E, se a moeda valesse, uma eleição como a de 2002, com o eleito vencendo em 26 das 27 UFs, teria chance de cerca de 2 em 10 milhões. Ou seja: a moeda não descreve as eleições que a gente viu.

O modelo abaixo corrige isso sem abrir mão do acaso. Ele aceita o número de UFs vencidas em cada eleição exatamente como foi, e deixa ao acaso só uma coisa: em quais UFs o eleito venceu. É como julgar o meteorologista de Fortaleza sabendo quantos dias choveu de fato: aí dá para separar o que é mérito do que é regularidade climática. A pergunta passa a ser: sabendo em quantas UFs o eleito venceu em cada eleição, um histórico perfeito ainda é surpreendente?

A ideia é tratar cada eleição como um sorteio. Imagine uma caixa com \(N = 27\) bolinhas, uma para cada UF. Na eleição \(t\), sorteamos \(k_t\) bolinhas sem reposição: são as UFs em que o eleito venceu. Freedman, Pisani e Purves (2007) usam essa mesma imagem para ensinar probabilidade, chamada de modelo da caixa.

Os \(k_t\) são fixos e iguais aos observados (gráfico abaixo). Em 2002 tiramos 26 bolinhas; em 2026, só 13. O que é aleatório é quais bolinhas saem.

Hipóteses

Condicional aos \(k_t\), vamos assumir duas coisas:

  • H1 (permutabilidade): em cada eleição \(t\), todos os conjuntos de \(k_t\) UFs têm a mesma probabilidade de ser o conjunto em que o eleito venceu. Na caixa, isso quer dizer que as bolinhas são todas iguais e bem misturadas: nenhuma tem, de antemão, mais chance de sair que outra.
  • H2 (independência entre eleições): os sorteios de eleições diferentes são independentes. Na caixa, isso quer dizer que, depois de cada eleição, todas as bolinhas voltam e a caixa é sacudida de novo. Sair em 2022 não muda a chance de sair em 2026.

Para escrever o resultado, defina \(V_i = 1\) se a UF \(i\) é um termômetro perfeito (isto é, se \(A_{it}\) ocorre para todo \(t\)) e \(V_i = 0\) caso contrário. O número de termômetros perfeitos é \[ S = \sum_{i=1}^{N} V_i. \]

Uma UF específica

Proposição. Sob H1 e H2, para qualquer UF \(i\), \[ p = \Pr(V_i = 1) = \prod_{t=1}^{T} \frac{k_t}{N}. \]

A intuição é a de uma rifa. Se há 27 bilhetes e 13 prêmios, e os prêmios são sorteados ao acaso, cada bilhete tem 13 chances em 27 de ser premiado. Ter o eleito vencendo numa UF em todas as eleições é como ter o mesmo bilhete premiado em 10 rifas seguidas, com as rifas independentes entre si. A probabilidade é o produto das probabilidades de cada rifa, do mesmo jeito que a chance de tirar cara duas vezes é \(1/2 \times 1/2\).

Demonstração (clique para expandir)

Sob H1, o conjunto de UFs vencidas na eleição \(t\) é um dos \(\binom{N}{k_t}\) conjuntos possíveis, todos com a mesma probabilidade. Desses, \(\binom{N-1}{k_t-1}\) contêm a UF \(i\). Logo, \[ \Pr(A_{it}) = \binom{N-1}{k_t-1} \bigg/ \binom{N}{k_t} = \frac{k_t}{N}. \] Sob H2, os eventos \(A_{i1}, \dots, A_{iT}\) são independentes, e \(\Pr(V_i = 1)\) é o produto dessas probabilidades.

\(\blacksquare\)

Como \(E(V_i) = p\) para toda UF, o número esperado de termômetros perfeitos é \[ E(S) = N p. \] É como uma sala com 27 pessoas, cada uma com 2,4% de chance de ganhar: em média, \(27 \times 2{,}4\% \approx 0{,}65\) pessoa ganha. Isso vale sem nenhuma hipótese adicional.

Alguma UF

A pergunta do post, porém, é sobre \(\Pr(S \geq 1)\): a chance de existir pelo menos uma UF com histórico perfeito. Aqui há um detalhe. Dentro de uma mesma eleição, as UFs não são independentes.

Pense numa dança das cadeiras com 27 pessoas e 13 cadeiras. Se Minas conseguiu sentar, sobrou uma cadeira a menos para as outras 26. Do mesmo jeito, se o eleito venceu em exatamente \(k_t\) UFs, saber que ele venceu na UF \(i\) diminui um pouco a chance de ter vencido na UF \(j\).

Por isso, vamos usar uma aproximação:

  • H3 (aproximação binomial): tratar \(V_1, \dots, V_N\) como independentes. É como se cada UF tivesse a sua própria caixa, sem disputar cadeiras com as outras.

Sob H3, \(S\) segue uma distribuição binomial com parâmetros \(N\) e \(p\), e \[ \Pr(S \geq 1) = 1 - (1 - p)^N. \] Essa fórmula diz uma coisa simples: a chance de alguém ganhar é 1 menos a chance de ninguém ganhar. A chance de uma UF não ter histórico perfeito é \(1 - p\); a de nenhuma das 27 ter é \((1 - p)^N\).

Como H3 é só uma aproximação, também vamos calcular \(\Pr(S \geq 1)\) por simulação, usando apenas H1 e H2. A simulação faz o que um professor faria com uma caixa de bolinhas de verdade, só que 100 mil vezes: sorteia as 10 eleições, anota quantas UFs têm histórico perfeito, e repete. A fração de repetições com pelo menos um termômetro perfeito estima \(\Pr(S \geq 1)\).

Os valores de \(k_t\)

Falta só o \(k_t\) de cada eleição. A tabela abaixo traz os valores e de onde eles vêm.

Eleição Eleito \(k_t\) Fonte
1989 Collor 23 Wikipedia
1994 FHC 25 TSE
1998 FHC 24 TSE
2002 Lula 26 Congresso em Foco
2006 Lula 20 ALAI
2010 Dilma 17 Congresso em Foco
2014 Dilma 15 Congresso em Foco
2018 Bolsonaro 16 Jornal do Brasil
2022 Lula 13 Diário de Pernambuco
2026 Lula 13 Correio

Os números contam uma história por si só. Fernando Henrique ganhou em 1994 e 1998 com folga, perdendo só em duas e em três UFs. A partir de 2010 as eleições ficaram mais apertadas, e em 2022 e 2026 o eleito levou só 13 das 27.

Entre 1989 e 2006, o eleito venceu em pelo menos 20 das 27 UFs; em 2002, em 26. Essas eleições custam quase nada a um candidato a termômetro: com 26 bolinhas sorteadas em 27, é difícil ficar de fora. São as eleições divididas ao meio, as mais recentes, que realmente testam a sequência. Em 2022 e 2026, a chance de o eleito vencer numa dada UF era de 13/27, menos da metade; cada uma dessas eleições, sozinha, corta as chances de um histórico perfeito um pouco mais que pela metade.

Fazendo as contas

Com os \(k_t\) da tabela, as contas cabem em poucas linhas. Para não depender de H3, também vamos fazer um estudo de simulação: em cada uma das \(R = 10^5\) réplicas, sorteamos exatamente \(k_t\) UFs vencedoras em cada eleição e contamos em quantas UFs o eleito venceu em todas as eleições.

Resumindo:

Quantidade Valor
Chance de o eleito ter vencido numa UF qualquer nas 10 eleições (\(p\)) 2,4%
Número esperado de termômetros perfeitos (\(N p\)) 0,65
Chance de pelo menos um termômetro perfeito 48,1% (50,2% na simulação)
Chance de pelo menos dois termômetros perfeitos 13,7% (12,6% na simulação)
Pelo menos um, no modelo da moeda honesta 2,6%

Ou seja: no modelo da caixa, a chance de uma UF específica ter histórico perfeito é cerca de 25 vezes maior que na moeda honesta (2,4% contra 0,1%). E a chance de alguma UF ter esse histórico é praticamente cara ou coroa. Ter duas, como o Brasil tem, é mais raro: algo como uma chance em oito.

Repare também que a fórmula com H3 e a simulação dão quase o mesmo resultado. A dança das cadeiras existe, mas, com 27 UFs, ela pesa pouco.

Escolher depois de ver os dados

Por que olhar para os cerca de 50%, e não para os 2,4% de Minas? Porque ninguém apontou Minas e Amazonas em 1989 e ficou esperando. A sequência foi notada depois, olhando para as 27 UFs e procurando as que tinham histórico perfeito.

Pense na Mega-Sena. A chance de você acertar as seis dezenas é de uma em 50 milhões, mas numa Mega da Virada é quase certo que alguém acerte, e ninguém conclui que o ganhador tem um dom. Perguntar pela chance de Minas (2,4%) é perguntar pela chance de um bilhete escolhido antes do sorteio. A pergunta relevante é pela chance de alguma UF (cerca de 50%).

Um golpe antigo mostra o mesmo mecanismo, só que montado de propósito (Paulos, 1988). O golpista manda uma “dica” de investimento para 10.240 pessoas: metade ouve que uma ação vai subir; a outra metade, que vai cair. A cada semana, descarta quem recebeu a previsão errada e repete o truque com o resto. Depois de 10 rodadas, sobram 10 pessoas que viram 10 acertos seguidos e acham que isso tinha chance de 1 em 1.024. Elas não veem as outras 10.230. Quem se impressiona com Minas e Amazonas está no lugar delas.

Em estatística, isso tem nome: é o problema das comparações múltiplas. Quanto mais lugares a gente olha, mais fácil é achar uma coincidência impressionante; Diaconis e Mosteller (1989) chamam isso de lei dos números realmente grandes. No golpe, aparece ainda um parente próximo, o viés de sobrevivência: só se veem os casos que passaram pelo filtro, e os descartados ficam invisíveis.

Este erro lógico também é conhecido como falácia do atirador do Texas. O atirador dá vários tiros na parede de um celeiro e só depois pinta o alvo em volta do grupo de furos mais próximos. Parece pontaria, mas o alvo foi escolhido depois dos tiros, assim como Minas e Amazonas foram escolhidos depois de ver os resultados. Thompson (2009) discute a mesma falácia na interpretação de exames de DNA.

O que o modelo deixa de fora

O modelo é simples de propósito. Vale olhar para o que ele ignora.

  1. Minas é bastante particular. Pense numa panela de sopa bem mexida: uma colherada basta para saber o gosto da panela inteira.1 O eleitorado mineiro funciona um pouco como essa colherada. Ele junta um sul e um Triângulo mais conservadores com um norte mais parecido com o Nordeste, e o resultado fica perto do resultado nacional. Ou seja, a bolinha de Minas não é igual às outras, e H1 subestima as chances dela. A sequência de Minas é, em parte, sinal, e não só sorte. O Amazonas não tem a mesma fama de pêndulo; no caso dele, a explicação da sorte pesa mais.
  2. As UFs têm memória. H2 sacode a caixa de novo a cada eleição, mas na vida real as bolinhas quase não se misturam de uma eleição para a outra. É como um baralho mal embaralhado: as cartas que estavam juntas na última rodada tendem a continuar juntas na próxima. O PT vence no Nordeste desde 2006, e o adversário do PT vence em boa parte do Sul e do Centro-Oeste. Esses redutos não podem ser termômetros quando o partido vencedor muda. A persistência concentra a probabilidade nas poucas UFs realmente pendulares.
  3. Pequenos erros nos \(k_t\) mudam pouco. Se o eleito tivesse vencido em uma UF a menos em qualquer uma das 10 eleições, a chance de pelo menos um termômetro perfeito cairia de 48% para algo entre 45% e 47%.

Conclusão

As contas apresentadas aqui são simples, mas mostram um ponto importante: por puro acaso, o Brasil deveria ter um termômetro perfeito mais ou menos metade das vezes. Como na Mega da Virada, alguém ganhar não é notável. Encontrar dois termômetros é menos comum, mas não é raro o bastante para descartar a sorte.

O que faz diferença no caso de Minas é a estrutura. Como a colherada de uma sopa bem mexida, num estado parecido com o país tende a vencer quem vence no país.

Vale separar duas coisas. A falácia está na inferência, não na observação: é fato que o eleito venceu em Minas desde 1989; o erro é concluir, só por isso, que Minas prevê a eleição. E cometer a falácia não torna a conclusão falsa. Minas pode, sim, ser um bom termômetro; a sequência, sozinha, só não é evidência disso.

Ou seja: 10 coincidências seguidas são uma boa história, não uma lei. Quem quiser usar Minas para prever 2030 vai estar usando um termômetro razoável, não uma bola de cristal.

Um modelo que leve em conta a memória das UFs (por exemplo, uma cadeia de Markov para o partido que vence em cada estado) daria uma resposta mais honesta. Mas isso fica para um próximo post.

Referências

DIACONIS, P.; MOSTELLER, F. Methods for Studying Coincidences. Journal of the American Statistical Association, v. 84, n. 408, p. 853–861, dez. 1989.
FREEDMAN, D.; PISANI, R.; PURVES, R. Statistics. 4. ed. New York: W. W. Norton, 2007.
PAULOS, J. A. Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its Consequences. New York: Hill and Wang, 1988.
THOMPSON, W. C. Painting the target around the matching profile: the Texas sharpshooter fallacy in forensic DNA interpretation. Law, Probability and Risk, v. 8, n. 3, p. 257–276, set. 2009.

  1. Usei essa mesma analogia para explicar amostragem num post anterior.↩︎