Taxas de crescimento

Quando dizemos que \(x_{(0)}\) cresceu \(r\)%, isso significa que \(x_{(1)} = x_{(0)} ( 1 + r )\). Como temos 4 trimestres, podemos escrever o crescimento do PIB como

\[ \begin{align} \frac{x_{(1)}}{x_{(0)}} &= ( 1 + r_1 ) ( 1 + r_2 ) ( 1 + r_3 ) ( 1 + r_4 ) \\ &= \prod_{i=1}^4 (1+r_i) \\ &= 1 + \sum_{i=1} r_i + \sum_{ i \neq j } \sum_{ j \neq i } r_i r_j + \sum_{ \substack{ i \neq j \\ i \neq k } } \sum_{ \substack{ j \neq i \\ j \neq k } } \sum_{ \substack{ k \neq i \\ k \neq j } } r_i r_j r_k + \prod_{i=1}^4 r_i \end{align} \]

Claramente, \(\prod_{i=1}^4 ( 1 + r_i ) \neq \sum_{i=1}^4 r_i\). Mas quão ruim seria essa aproximação? No caso do PIB, as taxas de crescimento são, geralmente, próximas de zero. Logo, fazendo \(\mathbf{r} = (r_1,r_2,r_3,r_4)\) , \(\mathbf{0} = (0,0,0,0)\), \(f( \mathbf{r} ) = \prod_{i=1}^4 (1 + r_i )\), temos a matriz de derivadas parciais

\[ D_f ( \mathbf{x} ) = \begin{bmatrix} (1+x_2) (1+x_3) (1+x_4) \\ (1+x_1) (1+x_3) (1+x_4) \\ (1+x_1) (1+x_2) (1+x_4) \\ (1+x_1) (1+x_2) (1+x_3) \\ \end{bmatrix} \\ \]

Assim,

\[ D_f ( \mathbf{0} ) = \begin{bmatrix} (1+0) (1+0) (1+0) \\ (1+0) (1+0) (1+0) \\ (1+0) (1+0) (1+0) \\ (1+0) (1+0) (1+0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Logo, usando a série de Taylor multivariada de 1ª ordem em torno de \(\mathbf{0}\),¹ temos

\[ \begin{align} f( \mathbf{r} ) &\approx f( \mathbf{0} ) + D_f ( \mathbf{0} )^\prime ( \mathbf{r} - \mathbf{0} ) \\ &\approx 1 + \sum_{i=1}^4 r_i \end{align} \]

Isso significa que, para taxas de crescimento próximas de zero, a aproximação pela soma funciona! Vamos ver isso numericamente.

A tabela acima mostra o procedimento usando as taxas de crescimento trimestrais de quatro países países hipotéticos. Note que, à medida que as taxas trimestrais se distanciam de zero, o erro da aproximação aumenta. Portanto,

• Se você tem tempo para fazer a conta exata – por exemplo, preparando um artigo, faça a conta exata. Qualquer programa de planilha resolve;
• Se você não tem tempo para fazer a conta exata, veja se as taxas são suficientemente próximas de zero.

Inflação, juros nominal e juros nominal

A taxa de juros real representa o crescimento real de um investimento – i.e., precisamos descontar a inflação do crescimento nominal. Logo, representado a taxa de juros real por \(\gamma\), a taxa de juros nominal por \(r\) e a inflação por \(\lambda\), temos

\[ \begin{align} 1 + \gamma &= \frac{ 1 + r }{ 1 + \lambda} \\ \gamma &= \frac{ 1 + r }{ 1 + \lambda} -1 . \end{align} \]

Fazendo $ = f(r,)$, temos a matriz de derivadas parciais

\[ \begin{align} D_f ( r , \lambda ) &= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + \lambda} \\ - \frac{ 1 + r }{ ( 1 + \lambda )^2 } \\ \end{bmatrix} \\ \therefore D_f ( 0,0 ) &= \begin{bmatrix} 1 \\- 1 \\ \end{bmatrix} \end{align} \]

Logo, aproximando ao redor do ponto \((0,0)\),

\[ \begin{align} f( r , \lambda ) &\approx f( 0,0 ) + D_f ( 0,0 ) \big( (r , \lambda) - (0,0) \big) \\ &\approx 0 + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}^\prime \begin{bmatrix} r \\ \lambda \end{bmatrix} \\ &\approx r - \lambda . \end{align} \]

Assim, para taxa de juros nominal e inflação próximas de zero, a taxa de juros real pode ser aproximada subtraindo a taxa de inflação da taxa de juros nominal. Macroeconomistas podem notar que esta aproximação é muito parecida com a equação de Fisher.

Outro modo de ver esta aproximação é diretamente com a expressão principal:

\[ \begin{align} 1 + \gamma &= \frac{ 1 + r }{ 1 + \lambda} \\ (1 + \gamma ) ( 1 + \lambda ) &= 1 + r \\ \gamma ( 1 + \lambda ) &= 1 + r - 1 - \lambda \\ \gamma &= \frac{ r - \lambda }{ 1 + \lambda } \\ \therefore R &= \bigg| \frac{ r - \lambda }{ 1 + \lambda } - ( r - \lambda ) \bigg| \\ &= \bigg| ( r-\lambda ) \bigg( \frac{1}{ 1 + \lambda } - 1 \bigg) \bigg| \\ \end{align} \]

Analisando a última equação, observa-se que o erro absoluto cresce quando \(r\), \(\lambda\) e \(r - \lambda\) se distanciam de zero.

A tabela abaixo como as taxas de juros nominal e de inflação cinco países hipotéticos. Note que, à medida que as taxas de juros nominal e de inflação se distanciam de zero, o erro da aproximação pela diferença aumenta.

Portanto, se você viveu no Brasil durante a década de 1980, essa aproximação era bem ruim.