Renda e voto no 1º turno de 2026: o que dá (e o que não dá) para dizer com dados agregados

O problema 2×2 em cada unidade

Em cada unidade \(i\) (município ou estrato), classifique os eleitores por \(X\) (1 = renda alta, 0 = renda baixa) e por \(Y\) (1 = votou em Lula, 0 = não). Com microdados, veríamos esta tabela:

Com dados agregados, só enxergamos as margens: quantos eleitores há em cada grupo de renda (\(n_{1\bullet i}\) e \(n_{2\bullet i}\)) e quantos votos Lula teve (\(n_{\bullet 1i}\)). As células \(n_{11i}\) e \(n_{21i}\) ficam escondidas. O que queremos conhecer, em cada unidade, é a probabilidade de votar em Lula dentro de cada grupo de renda,

\[ \pi_{1i} = P(Y=1 \mid X=1), \qquad \pi_{2i} = P(Y=1 \mid X=0), \]

e, para o debate, a diferença \(\pi_{1i} - \pi_{2i}\). Condicionando nas margens de linha, \(n_{11i} \sim \text{Bin}(n_{1\bullet i}, \pi_{1i})\) e \(n_{21i} \sim \text{Bin}(n_{2\bullet i}, \pi_{2i})\).

Uma equação, duas incógnitas: a linha de tomografia

O total de votos em Lula é \(n_{\bullet 1i} = n_{11i} + n_{21i}\), com valor esperado \(n_{1\bullet i}\pi_{1i} + n_{2\bullet i}\pi_{2i}\). Igualando ao observado, obtemos a linha de tomografia (King, 1997; equação 2.12 do capítulo):

\[ \pi_{2i} = \frac{n_{\bullet 1i}}{n_{2\bullet i}} - \frac{n_{1\bullet i}}{n_{2\bullet i}}\,\pi_{1i}. \]

Cada unidade dá uma observação (\(n_{\bullet 1i}\)) para dois parâmetros. Com \(p\) unidades, são \(p\) observações para \(2p\) parâmetros: sem hipóteses adicionais, os dados só dizem que \((\pi_{1i}, \pi_{2i})\) está sobre uma reta. Os limites de Duncan e Davis (1953) são os pontos em que essa reta entra e sai do quadrado \([0,1]^2\), e são tudo o que cada unidade garante sozinha. Os autores mostram ainda que a verossimilhança é uma crista ao longo da reta: o mínimo está na independência (\(\pi_{1i} = \pi_{2i}\)) e o máximo, numa das pontas.

Quanto se perde: o princípio da informação perdida

Seja \(\phi\) o vetor de parâmetros, \(d^{(1)}\) os dados individuais e \(d^{(2)}\) os agregados. O escore e a informação observada dos agregados se relacionam com os individuais por (Breckling et al., 1994; equações 2.5 e 2.6 do capítulo)

\[ \text{sc}^{(2)}(\phi) = E\left[\text{sc}^{(1)}(\phi) \mid d^{(2)}\right], \qquad \text{info}^{(2)}(\phi) = E\left[\text{info}^{(1)}(\phi) \mid d^{(2)}\right] - \text{Var}\left[\text{sc}^{(1)}(\phi) \mid d^{(2)}\right]. \]

O último termo é a perda de informação: a variância do escore individual dado o que vemos nos agregados. Nas tabelas 2×2, em cada unidade essa matriz tem posto 1 e correlação −1 entre as duas componentes (é a linha de tomografia reaparecendo). O que se perde é a capacidade de separar \(\pi_{1i}\) de \(\pi_{2i}\), e por isso a diferença \(\pi_1 - \pi_2\) é a quantidade mais prejudicada.

Com homogeneidade o parâmetro é identificado, e a perda tem fórmula

A saída usual é supor \(\pi_{1i} = \pi_1\) e \(\pi_{2i} = \pi_2\) em todas as unidades (homogeneidade). É o que está por trás da regressão ecológica de Goodman (1953), \(T_i = \pi_2 + (\pi_1 - \pi_2)X_i + e_i\), em que \(T_i = n_{\bullet 1i}/n_i\) é a fração de votos em Lula e \(X_i = n_{1\bullet i}/n_i\) a fração de eleitores de renda alta. Agora são 2 parâmetros e \(p\) observações, e dá para estimar.

Com a aproximação normal para \(n_{\bullet 1i}\), as variâncias do estimador de \(\pi_1 - \pi_2\) com microdados e só com agregados são

\[ \text{Var}^{(1)} = \frac{\pi_1(1-\pi_1)}{N\bar X} + \frac{\pi_2(1-\pi_2)}{N(1-\bar X)}, \qquad \text{Var}^{(2)} \approx \frac{\bar X\,\pi_1(1-\pi_1) + (1-\bar X)\,\pi_2(1-\pi_2)}{N\,\text{Var}(X)}, \]

onde \(N\) é o total de eleitores, \(\bar X\) a fração média de renda alta e \(\text{Var}(X)\) a variância de \(X_i\) entre as unidades, ponderada pelo tamanho. Se as variâncias binomiais dos dois grupos são parecidas, a razão fica

\[ \frac{\text{Var}^{(2)}}{\text{Var}^{(1)}} \approx \frac{\bar X(1-\bar X)}{\text{Var}(X)} = \frac{1}{\rho}, \qquad \rho = \frac{\text{Var}(X_i)}{\bar X(1-\bar X)}. \]

O número \(\rho\) é a fração da variância de \(X\) que está entre unidades. Os agregados valem, grosso modo, \(\rho N\) microdados: quanto mais parecidas as unidades entre si na composição, menos informação sobrevive. Essas duas fórmulas são minhas (inverto a matriz de informação sob aproximação normal; o capítulo trabalha com a distribuição hipergeométrica não central) e concordam com uma simulação de Monte Carlo: num cenário com 50 unidades de 450 eleitores, o desvio-padrão do estimador agregado deu 0,0469 na simulação e 0,0466 pela fórmula.

O exemplo do capítulo. Os autores usam o Censo australiano de 1996, com 50 distritos de Brisbane e 22.323 pessoas. \(X=1\) é ter de 15 a 24 anos e \(Y=1\) é ter renda semanal abaixo de AU$ 160. Como os microdados do censo existem, dá para comparar os dois tipos de análise:

As estimativas pontuais ficam parecidas, mas os erros-padrão crescem de 3 a 5 vezes, e a variância da diferença é multiplicada por cerca de 28. Os autores traduzem isso em “tamanho de amostra equivalente”: os 50 distritos valem 803 pessoas, ou cerca de 16 pessoas por distrito, para estimar \(\pi_1 - \pi_2\). Eles também testam a homogeneidade: a estatística da razão de verossimilhanças é 502,7 com microdados e 339,3 só com agregados, contra um valor crítico de 122 (5%). Os dois rejeitam, e o agregado tem menos poder.

O que ajuda: juntar uma amostra de microdados

As informações somam: \(\text{info}^{(c)} = \text{info}^{(2)} + \text{info}^{(0)}\), em que \(\text{info}^{(0)}\) vem de uma amostra de \(n_0\) pessoas. No exemplo, a variância de \(\hat\pi_1 - \hat\pi_2\) cai assim:

A amostra individual não precisa dizer a que unidade cada pessoa pertence. Ela reforça justamente os termos da diagonal da matriz de informação e reduz a correlação entre as estimativas. Esse é o argumento técnico para combinar resultados agregados com uma pesquisa de opinião ou de boca de urna.

Resultados clássicos que explicam o nosso caso

Estes não vêm do capítulo, são resultados básicos de regressão.

1. A inclinação mistura a relação entre e dentro das unidades. Se \(b_W\) e \(b_B\) são as inclinações dentro e entre grupos, e \(S^W_{xx}\) e \(S^B_{xx}\) as variações de \(x\) dentro e entre grupos, a inclinação da regressão com todos os dados é

\[ b = \frac{S^W_{xx}\, b_W + S^B_{xx}\, b_B}{S^W_{xx} + S^B_{xx}}. \]

Regredir médias de grupos entrega só \(b_B\). No nosso caso, a renda é a mesma para todos os municípios de um estrato, então \(S^W_{xx} = 0\) e \(b = b_B\): foi por isso que a regressão com 5.571 municípios deu exatamente a mesma inclinação que a de 146 estratos.

2. Efeito contextual e inversão de sinal. Suponha que o voto em Lula no estrato \(g\) seja \(\bar y_g = a_g + \beta\, p_g\), em que \(p_g\) é a fração de eleitores de renda alta, \(\beta\) o efeito individual de ter renda alta (igual em todos os estratos) e \(a_g\) o nível de base do estrato (por exemplo, o efeito da região). Então a inclinação entre estratos é

\[ b_B = \beta + \frac{\Delta a}{\Delta p}. \]

Um exemplo numérico, o mesmo de antes:

Aqui \(\beta = +10\), \(\Delta a = 35 - 70 = -35\) e \(\Delta p = 0{,}7 - 0{,}2 = 0{,}5\), então \(b_B = 10 - 35/0{,}5 = -60\). Dentro de cada estrato, ter renda alta aumenta o voto em Lula em 10 pontos, e entre estratos a relação é fortemente negativa. A diferença entre os dois sinais é o efeito contextual \(\Delta a/\Delta p\), e as regressões por estrato não conseguem separá-lo de \(\beta\).

Há ainda um terceiro problema, que os dados agregados não revelam: a renda do estrato é uma média estimada com erro amostral, o que atenua a inclinação por um fator \(\lambda = \text{Var(renda verdadeira)} / [\text{Var(renda verdadeira)} + \text{Var(erro)}]\) (menor que 1). Com os erros-padrão do bootstrap da PNADC, estimei \(\hat\lambda = 0{,}95\) para o log2 da renda dos estratos: o erro amostral atenua a inclinação em menos de 5% (de \(-15{,}9\) para algo em torno de \(-16{,}7\) se corrigíssemos), então esse é o menor dos problemas.

Voltando à nossa análise

Nossa situação é pior do que o caso 2×2 do capítulo, por dois motivos. Primeiro, temos só a renda média do estrato, e não a fração \(n_{1\bullet i}\) de eleitores em cada faixa de renda, então nem dá para traçar as linhas de tomografia. Segundo, a regressão ecológica supõe homogeneidade, e as diferenças regionais mostradas acima (o efeito contextual \(\Delta a\)) são justamente uma violação dela.

O análogo de \(\rho\) para renda contínua é a fração da variância do log da renda individual que está entre grupos (a razão \(1/\rho\) vale também para um modelo linear com renda contínua). Estimei com os microdados da PNADC (renda domiciliar per capita positiva, em log, com os pesos amostrais e erro-padrão por bootstrap com os pesos de replicação), para três níveis de agregação:

# d: microdados da PNADC (peso v1032, estrato estrato.geo, renda domiciliar per capita rdpc)
d  <- d[d$rdpc > 0, ]
d$ly <- log(d$rdpc)
mu  <- weighted.mean(d$ly, d$v1032)
mug <- ave(d$ly * d$v1032, d$estrato.geo, FUN = sum) / ave(d$v1032, d$estrato.geo, FUN = sum)
rho <- sum(d$v1032 * (mug - mu)^2) / sum(d$v1032 * (d$ly - mu)^2)
rho   # fração da variância do log da renda que está entre estratos

Só 16% da variância do log da renda está entre estratos. Os outros 84% estão dentro deles, e é exatamente essa parte que a nossa análise não vê. Num cenário em que valesse a homogeneidade, \(1/\hat\rho \approx 6{,}1\) diz que a variância do estimador agregado do efeito individual da renda seria cerca de seis vezes a dos microdados (erro-padrão cerca de 2,5 vezes maior), e agregar por UF ou por região só piora (8,5 e 9,3). Com heterogeneidade, como a regional, o problema é pior, porque sem hipóteses adicionais os parâmetros deixam de ser identificados.